数论知识是独立性比较强的一门数学分支，我们小学阶段接触到的数论知识已经达到了高中甚至大学的水平。其实数论并不神秘，我们课本内就介绍过能被2、3、5、9、11整除的数的特点，其实都是从数论知识中推理出来的结论，只是课本内没有给我们展示推理过程而已。今天，我们就从数论的角度去探索一下某数倍数的特点。
 

首先从我们熟悉的结论开始。能被2、5整除的数只看个位，我们可以通过 来证明；能被3、9整除的数，各位数字的和能被3、9整除，我们可以通过 来证明；能被7、11、13整除的数可以用原数隔三位相加得到两组数做差判断，我们可以通过 来证明。
 

看到这些看似没有规律可言的东西，我们要想办法把它归纳起来。我们可以发现能被7、11、13整除的数其实可以把原数拆成6位一组，然后每组数相加，它和原数除以7、11、13是同余的。这似乎与3、9的倍数描述很类似，只是1位一组变成6位一组了。那么，是不是所有的数都可以通过这种方式总结起来呢？
 

很遗憾，答案是否定的，我们发现最基础的我们最熟悉的2和5，就完全没有办法用这种规律来总结。不过，如果不考虑带有因子2或5的数字时，这个做法却是通用的！比如我们不常见的除以17的余数，可以通过每16位一组相加后与原数同余来判断，可是16这个数字太大了，实际上对我们没什么帮助。那么，可能有同学会问了：你怎么知道除以17的余数要16位一组相加呢？事实上，就算我们不用这样的性质，了解一下它的来历对我们也是很有帮助的。
 

我们看到每1位一组相加的3和9有共同点是 ，其实我们稍花些时间也不难发现，每6位一组相加的7、11、13有共同点是 ，有同学可能猜到了 ，不错，的确如此。
 

后面的式子看起来就是费马小定理的形式，我们可以发现，其实除了2和5的所有的质数，都可以写成类似的形式，所以我们可以毫不含糊的说：除了2和5，所有的质数的整除性判定都可以通过数位分组加和的方式判断！所有的质数都有了这样的方法，而合数都是由质数连乘而来，那么我们可以说所有的数字的整除性判定规律我们都可以找到了！可是为什么我们没有见到有人介绍过类似的简便方法呢？其实是因为这些方法只对非常大且杂乱无章的数字有效，比如除以17要每16位相加，除以19要每18位相加，这看起来太可怕了。
 

这样的结论我们似乎是不需要的，不过最后，还有一点点东西可以帮助我们。不难发现，分母为7的数字循环节是6位，它和 有着密切的关系，准确的说，是分母为7的数字，它的循环部分每6位必然循环（比如 ，但分母为11的数通常循环节为2位，但是无论如何它到6位也是在循环的）。那么如果以后我们做除以17的运算时，如果发现超过16位还没有发现循环节，那么就一定是做错了，这个知识可以帮助我们验证除法计算的准确性。