【抽象代数】关于整环的一些基本问题

1、先了解一个零因子的概念：

如果a和b是环R的非零元素，且ab=0，就称a是环R的零因子。

同样的，b也是环R的零因子。

注意，这个定义隐藏了一个条件，那就是R非零环，至少要有一个非零元。

2、整环指的是，不存在零因子的非零环。

换言之，整环中任意两个非零元素的乘积都不等于0。

3、整环的子环是整环，这实在是显然的。

4、设R是整环，那么R[x]也是整环。

给出R[x]的两个非零元素f(x)和g(x)，说明f和g里面，最高项的系数不等于0，这样，f(x)*g(x)的最高项系数也不等于0。

5、有限整环R是域。

这是因为对R中的任意非零元r，都有rR=R，所以存在元素s，使得rs=1。

这样就说明R中每个非零元素都有乘法逆，因而是域。

6、不存在10阶整环。

反证法，假设R是10阶整环，那么存在非零元素a和b，使得2a=0，5b=0。

因为a和b乘法可逆，并假设R的乘法单位元是1R，a的乘法逆是a'，b的乘法逆是b'，那么，2aa'=2*1R=0，5bb'=5*1R=0。

这样就有：2=0，5=0，进而1=0，矛盾。