1、 圆柱螺旋的参数方程是：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
ParametricPlot3D[r[t],{t,0,6*Pi}]
2、 圆柱螺旋是正则曲线，因为r'[t]≠0。
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
r'[t]
r'[t].r'[t]//FullSimplify
3、 求圆柱螺旋r[t]在t=π/3时的切线方程：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
p={x,y,z};
p-r[t]==a r'[t]
消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
p={x,y,z};
Eliminate[p-r[t]-a r'[t]==0,a]
再用Rule指定t->π/3就行了。
4、 求r[t]的法平面的方程：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
p={x,y,z};
因为法平面和切向量垂直，所以(p-r[t]).(r'[t])==0
这就是法平面方程。
5、 求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：
r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}
Integrate[Sqrt[r'[t].r'[t]],{t,0,t}]
Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：
ArcLength[r[t],{t,0,t}]
6、 如果把正则曲线的弧长记为s，有：
s=s[t]
求出s和t的反函数：t=t[s]，就得到了曲线的自然参数方程：
r[s_]:=(r[t])/.t->6*s/Sqrt[37]r[s]//Simplify//TraditionalForm
此时，自然参数方程是：
r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}
7、 在自然参数下，r[s]的微商的模长是1。
r[s_]:={Cos[6 s/Sqrt[37]],Sin[6 s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}
r[s]
r'[s]
r'[s].r'[s]
r'[s].r'[s]//Simplify
